서론
Unity를 사용하여 3D 게임을 만들려면 몇 가지 수학적 개념을 기본적으로 이해해야 합니다. 다음은 Unity의 주요 수학 개념과 응용 프로그램입니다:
주요 수학 개념
1. 벡터: Unity에서 벡터는 일반적으로 객체의 위치, 방향 및 속도를 나타내는 데 사용됩니다. 벡터는 일반적으로 벡터의 크기와 방향을 설명하는 좌표(x, y, z)의 집합으로 표시됩니다. 예를 들어 벡터를 사용하여 3D 공간에서 플레이어의 위치를 나타낼 수 있습니다. 여기서 (x, y, z)는 플레이어의 좌표입니다.
2. 행렬: Unity에서 행렬은 변환, 회전 및 축척과 같은 변환을 나타내는 데 사용됩니다. 행렬은 일반적으로 행과 열로 배열된 숫자 집합으로 표시됩니다. 예를 들어, 행렬을 사용하여 벡터를 특정 방향으로 회전할 수 있습니다. 단위 벡터 u로 정의된 축을 중심으로 벡터 v를 θ만큼 회전시키는 공식은 다음과 같습니다:
R = cos(I - uT) + sin(u)
여기서 R은 회전 행렬, I는 항등 행렬, T는 행렬 전치, x는 교차곱, ux는 다음과 같이 정의되는 스큐 대칭 행렬입니다:
(ux)i,j = ui * uj
3. 삼각법: Unity에서 삼각법은 회전 및 기타 변환에 필요한 각도를 계산하는 데 사용됩니다. 예를 들어, 객체를 회전하여 특정 점을 향하려는 경우 삼각법을 사용하여 객체의 현재 위치와 대상 점 사이의 각도를 계산할 수 있습니다. 두 벡터 a와 b 사이의 각도를 계산하는 공식은 다음과 같습니다:
cosθ = (a dot b) / (|a| |b|)
여기서 θ는 벡터들 사이의 각도이고, 점은 도트 곱을 나타내고, |a|와 |b|는 벡터들의 크기를 나타냅니다.
4. 선형 대수: Unity에서 선형 대수는 행렬 곱셈 및 반전과 같은 연산을 수행하는 데 사용됩니다. 이러한 작업은 3D 공간에서 객체를 변환하는 데 사용됩니다. 예를 들어, 벡터 v를 행렬 M으로 변환하려면 다음 공식을 사용할 수 있습니다: v' = Mv입니다.
여기서 v'는 변환된 벡터이고 v는 원래 벡터입니다.
5. 미적분학: Unity에서 미적분은 물리 시뮬레이션 및 기타 동적 시스템에 사용됩니다. 예를 들어, 발사체의 움직임을 시뮬레이션하려는 경우 미적분학을 사용하여 궤적과 속도를 계산할 수 있습니다. 시간 t에서 발사체의 위치와 속도를 계산하는 공식은 다음과 같습니다:
x(t) = x0 + v0xt + 1/2at^2
v(t) = v0 + at
여기서 x0과 v0은 발사체의 초기 위치와 속도, a는 가속도, t는 시뮬레이션을 시작한 이후 경과된 시간입니다.
6. 쿼터니온: 쿼터니언은 3D 공간에서 회전을 나타내는 데 사용할 수 있는 수학적 객체의 한 유형입니다. 유니티에서 사분원은 오일러 각도를 사용하여 회전을 나타낼 때 발생하는 특정 문제를 피하기 위해 사용됩니다. 예를 들어, 사분원 q는 다음 공식을 사용하여 단위 벡터 u에 의해 정의된 축을 중심으로 벡터 v를 각도 θ만큼 회전시키는 데 사용할 수 있습니다:
v' = qvq^-1
여기서 v'는 회전 벡터이고, q^-1은 사분원 q의 역이며, * 연산자는 사분원 곱셈을 나타냅니다.
7. 변환: Unity에서 변환은 3D 공간에서 객체의 위치, 회전 및 축척을 변경하는 데 사용됩니다. 행렬, 사분원 또는 둘 모두를 사용하여 변환을 나타낼 수 있습니다. 예를 들어 개체를 현재 위치(x, y, z)에서 새 위치(x', y', z')로 이동하려면 다음 공식을 사용할 수 있습니다:
T = T' * T0
여기서 T0은 현재 변환 행렬이고, T'는 원하는 변환 행렬이며, T는 결과 변환 행렬입니다.
레이캐스팅: 레이캐스팅은 빛 또는 직선으로 이동하는 다른 입자의 동작을 시뮬레이션하기 위해 Unity에서 사용되는 기술입니다. Unity에서 레이캐스팅은 일반적으로 충돌 감지, 물리 시뮬레이션 및 기타 응용 프로그램에 사용됩니다. 예를 들어, 특정 방향 d의 p 지점에서 광선을 주조하려면 다음 공식을 사용할 수 있습니다:
p' = p + td
여기서 p'는 광선의 새로운 위치이고, t는 광선이 이동하는 거리이고, d는 광선의 정규화된 방향 벡터입니다.
8. 보간법: 보간법은 시간이 지남에 따라 물체의 움직임을 부드럽게 하기 위해 Unity에서 사용되는 수학적 기법입니다. 보간은 애니메이션, 전환 및 기타 효과를 만드는 데 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 시간 t에 걸쳐 두 위치 p0과 p1 사이를 보간하려면 다음 공식을 사용할 수 있습니다:
= (1-t)p0 + tp1입니다.
여기서 p는 결과 위치이고 t는 보간의 진행률을 나타내는 0과 1 사이의 값입니다.
지금까지 유니티에서 3D 게임을 만들기 위해 필요한 기본적인 수학 개념에 대해 알아보았습니다.
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